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递推算法之平面分割有关问题总结

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递推算法之平面分割问题总结

这是一类问题,首先由直线划分区域到折线划分区域,再延伸到封闭图形划分区域,最后在推广为平面划分空间的问题。

一、n条直线最多分平面问题

       题目大致如:n条直线,最多可以把平面分为多少个区域。

       析:可能你以前就见过这题目,这充其量是一道初中的思考题。当有n-1条直线时,平面最多被分成了f(n-1)个区域。则第n条直线要是切成的区域数最多,就必须与每条直线相交且不能有同一交点。 这样就会得到n-1个交点。这些交点将第n条直线分为2条射线和n-2条线断。而每条射线和线断将以有的区域一分为二。这样就多出了2+(n-2)个区域。

          故:f(n)=f(n-1)+n

                       =f(n-2)+(n-1)+n

                       ……

                       =f(1)+1+2+……+n

                       =n(n+1)/2+1

二、折线分平面(hdu2050)

        根据直线分平面可知,由交点决定了射线和线段的条数,进而决定了新增的区域数。当n-1条折线时,区域数为f(n-1)。为了使增加的区域最多,则折线的两边的线段要和n-1条折线的边,即2*(n-1)条线段相交。那么新增的线段数为4*(n-1),射线数为2。但要注意的是,折线本身相邻的两线段只能增加一个区域。

        故:f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1

                       =f(n-1)+4(n-1)+1

                      =f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2

                      ……

                      =f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1)   

                      =2n^2-n+1

三、三角形划分区域(hdu1249)

  解析:当n-1个三角形时,区域面积数为 f(n-1) 。

           要区域数最多,那么第n个三角形就必须与前n-1个三角形相交。
           则第n个三角形的一条边就被分割成 2*(n-1)-1条线段与两个半条的线段 ,
           即相当于2*(n-1)条线段。则第 n 个三角形被分割成 3*2*(n-1)条线段。
           则增加了 6*(n-1)个面。

 

            故:f(n)=6*(n-1)+f(n-1)

                f(n-1)=6*(n-2)+f(n-2)

                    ........

                f(2)=6*1+f(1)

          因为,f(1)=2

          所以,f(n)=3*n*(n-1)+2

四、封闭曲线分平面问题

       题目大致如设有n条封闭曲线画在平面上,而任何两条封闭曲线恰好相交于两点,且任何三条封闭曲线不相交于同一点,问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。

        析:当n-1个圆时,区域数为f(n-1).那么第n个圆就必须与前n-1个圆相交,则第n个圆被分为2(n-1)段线段,增加了2(n-1)个区域。

              故: f(n)=f(n-1)+2(n-1)     

                              =f(1)+2+4+……+2(n-1)

                              =n^2-n+2

五、平面分割空间问题(hdu1290)

           由二维的分割问题可知,平面分割与线之间的交点有关,即交点决定射线和线段的条数,从而决定新增的区域数。试想在三维中则是否与平面的交线有关呢?当有n-1个平面时,分割的空间数为f(n-1)。要有最多的空间数,则第n个平面需与前n-1个平面相交,且不能有共同的交线。即最多有n-1 条交线。而这n-1条交线把第n个平面最多分割成g(n-1)个区域。(g(n)为(1)中的直线分平面的个数 )此平面将原有的空间一分为二,则最多增加g(n-1)个空间。

         故:f=f(n-1)+g(n-1)     ps:g(n)=n(n+1)/2+1

                    =f(n-2)+g(n-2)+g(n-1)

                    ……

                   =f(1)+g(1)+g(2)+……+g(n-1)

                  =2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+(n-1)

                  =(1+2^2+3^2+4^2+……+n^2-1-2-3-……-n )/2+n+1

                 =(n^3+5n)/6+1


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